Estratégias de Resolução de Problemas

Área:	Matemática	Conteúdo:	Resolução de problemas
Coordenadora:	Márcia Aurélia Stopassoli	Turma:	7ª Série
Supervisora:	Josiane Bernz Siqueira	Ensino:	Fundamental
Bolsistas:	Ana Paula Poffo Jéssica Sabel	Ano:	2012

Material Instrucional: ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Objetivos

• Ler;
• Interpretar;
• Retirar dados;
• Definir estratégia de resolução;
• Calcular.

Materiais

• Projetor multimídia;
• Notebook;
• Folhas para resolução;
• Canetas.

Metodologia

Organizar os estudantes em grupos de 4 a 6 e entregar folhas e caneta para resolução. Em seguida apresentar no projetor multimídia, problemas diversos para que em grupo, eles possam debater e resolver os problemas.

Depois de resolvido (5 a 10 min) socializar com a turma a estratégia de cada grupo.

PROBLEMAS DE INTERPRETAÇÃO

1º Problema:

A soma de três números consecutivos é 63. Quais são esses três números?

Para a resolução deste problema, os alunos deveriam não só compreender o seu enunciado - aí incluídos os significados das palavras que o compõem – como também ter disponíveis os conhecimentos matemáticos necessários para sua resolução.

Neste problema era importante que os alunos conhecessem o significado da palavra consecutivo quando referida a um contexto (números consecutivos), bem como compreender que três números consecutivos só terão sentido no conjunto dos números inteiros, de tal forma que o segundo número é uma unidade maior que o primeiro e, ao mesmo tempo, uma unidade menor que o terceiro. Uma outra necessidade seria o conhecimento do significado da palavra soma, que os alunos deveriam relacionar à operação adição (ao resultado da operação adição).

Neste caso, a não compreensão dos termos “números consecutivos” e “soma” impossibilitaria a resolução deste problema.

Quanto à resolução do problema propriamente dito consideramos que os alunos poderiam recorrer a uma das estratégias seguintes:

Estratégia 01:

O aluno poderia ir tomando os números de três em três, somando-os até chegar aqueles cuja soma é 63, ou seja, poderia resolver o problema por tentativas de forma aleatória, sem qualquer parâmetro a não ser o fato de que a soma dos três números deveria ser 63.

Por exemplo:

15 + 16 + 17 = 48,

23 + 24 + 25 = 72,

19 + 20 + 21 = 60,

20 + 21 + 22 = 63.

Neste caso, os conhecimentos necessários seriam o significado da expressão “números

consecutivos” e o algoritmo da adição.

Estratégia 02:

Os alunos poderiam dividir 63 por 3, por compreenderem que, pelo fato de os números serem consecutivos, o resultado estaria próximo do quociente da divisão, de modo que pela divisão obteriam um número que poderia ser um dos números procurados e os outros estariam próximos a ele.

63 /3 = 21

Neste caso os números seriam 20,21 e 22, ou seja, o antecessor de 21 e o sucessor de 21.

Os conhecimentos necessários para o uso desta estratégia, seriam o algoritmo da divisão e o que sucessor e antecessor de um número inteiro.

Estratégia 03:

A terceira estratégia consistiria na utilização da linguagem algébrica para representar a

situação problema. Assim os números poderiam ser indicados por x, x + 1 e x + 2 ou x – 1, x,

x + 1, e sua soma seria 63.

x + x + 1 + x + 2 = 63

3x = 63 – 1 – 2

3x / 3= 60 / 3

x = 20

Como 20 + 21 + 22 = 63, os três números consecutivos seriam 20, 21 e 23.

Consideramos, que para o uso desta terceira estratégia, os alunos deveriam ter conhecimentos como: saber representar, por meio de linguagem algébrica, os elementos envolvidos no enunciado (representação de números consecutivos), saber o significado de uma equação, saber resolver uma equação de primeiro grau com uma incógnita, bem como ser capaz de interpretar a solução para fornecer a resposta pedida no enunciado.

Entretanto, esta estratégia poderia ser utilizada somente por alunos de 8ªsérie, e não pelos alunos de 5ªsérie, dado que estes ainda não tiveram contato com a linguagem algébrica.

Estratégia 04:

Uma outra estratégia que resolveria a questão seria o uso da soma dos termos de uma

Progressão Aritmética Finita (PA), uma vez que o problema trata de uma seqüência numérica

cuja razão é uma unidade.

Se conhecida a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética finita,

Sn = (a1 + an) . n , a solução seria

2

Resolução: 63 = [a1 + (a1 + 2)] . 3

2

126 = [2a1 + 2] . 3

126 = 6a1 + 6

126 – 6 = 6a1

120 = 6a1

a1 = 20

Então, 20 seria o primeiro termo dessa PA e os outros seriam 21 e 22. Logo, os números

consecutivos são 20, 21 e 22.

No entanto, consideramos que nenhum aluno, tanto de 5ª série como de 8ª série, fariam uso de tal estratégia pelo fato desta envolver conhecimentos e procedimentos matemáticos que, habitualmente, são abordados somente no Ensino Médio.

2º Problema

Com R$ 8,00, posso comprar dois gibis, três pacotes de figurinhas e ainda sobram R$ 2,00 de troco. O gibi custa R$ 1,00 a mais do que o pacote de figurinhas. Quanto custa o gibi? E cada pacote de figurinhas?

Estratégia 01:

Após subtrair os dois reais de troco e perceber que tinham R$ 6,00 para comprar 5 objetos (os dois gibis e os três pacotes de figurinhas), eles deveriam dividir R$ 6,00 por 5, de modo que o quociente obtido na divisão servisse como ponto de partida para se chegar ao resultado esperado. Para o uso da Estratégia 1, o aluno deveria saber usar o algoritmo da divisão, em um caso em que quociente não é um número inteiro.

6,00 / 5 =1,20

A partir desse resultado e reconhecendo que os objetos não têm todos o mesmo preço (R$ 1,20), o aluno iria retirando centavos do preço das figurinhas e acrescentado no preço do gibi, e controlando o resultado (somando o preço de dois gibis com o de três pacotes de figurinhas) até chegar a valores que resolvem, de fato, o problema.

GIBI R$ 1,20 FIGURINHAS R$ 1,20

GIBI R$ 1,35 FIGURINHAS R$ 1,10

GIBI R$ 1,50 FIGURINHAS R$ 1,00

GIBI R$ 1,65 FIGURINHAS R$ 0,90

GIBI R$ 1,80 FIGURINHAS R$ 0,80

Por certo esta estratégia, requer do aluno grande atenção e controle sobre essa ação de retirada e acréscimos, principalmente pelo fato de que o número de gibis não é igual ao número de pacotes de figurinhas. Uma outra dificuldade vai residir no fato de que os valores dos objetos não são números inteiros.

Estratégia 02:

Os alunos também poderão resolver o problema, subtraindo no início os dois reais a mais que custam os dois gibis, considerando a partir daí que cada objeto comprado custe o mesmo preço.

6,00 - 2,00 = 4,00

4,00 / 5 = 0,80

Como o gibi custa um real a mais, então o preço de cada gibi será:

Preço = 1,00 + 0,80

Logo, o preço de cada gibi é igual ao preço de um pacote de figurinhas mais um real ou R$ 1,80.

E o preço de cada pacote de figurinha:

E cada pacote figurinhas custa R$ 0,80.

Esta é uma estratégia que pode ser utilizada quando a criança faz ligação desta questão com a seguinte, por exemplo, “Comprei uma camisa e um par de meias por R$ 30,00 Se a camisa custou R$ 10,00 a mais que o par de meias, quanto custou cada peça?”, pois ambas tem a ambas têm a mesma estrutura de resolução.

Estratégia 03:

Os alunos poderiam também utilizar procedimentos algébricos, representando os dados por meio de uma equação de 1º grau com uma incógnita ou de um sistema de equações;

Se x representa o preço do pacote de figurinhas e x+1, o de um gibi, poder-se-ia representar a situação problema por

3x + 2(x + 1) = 6,00.

Resolvendo a equação:

3x + 2x + 2 = 6,00

5x = 6,00 – 2,00

5x /5 = 4,00/5

x = 0,80

Para o uso desta estratégia, além, é claro do conhecimento da linguagem matemática, o aluno ainda deveria saber interpretar o resultado obtido na resolução da equação, ou seja saber quem ele designou por x no início da resolução.

Qualquer que seja a estratégia utilizada, a familiaridade do aluno com representações pictóricas poderia ser um apoio a mais para a compreensão e a resolução do problema.

3º Problema

O perímetro de um retângulo é 72cm. Sabendo que o lado maior é o dobro do menor encontre as medidas dos lados do retângulo.

Este problema tem, em seu enunciado, palavras que têm significados precisos no contexto matemático: perímetro, dobro, retângulo e medidas. Se esses significados não forem conhecidos, a resolução fica impossibilitada, ou seja, é necessário que o aluno tenha conhecimentos prévios em relação a esses significados para ele representar, de alguma forma, a relação quantitativa entre os elementos matemáticos que fazem parte do enunciado.

Além disso, o fato de o problema apresentar apenas um número no enunciado poderia dificultar sua resolução, uma vez que os alunos deveriam retirar dos dados os outros números a serem utilizados no cálculo.

A resolução deste problema requer que os alunos consigam representar, de alguma forma, a relação quantitativa entre os elementos matemáticos que fazem parte desse enunciado. Na resolução, poderiam utilizar apenas operações básicas da aritmética ou recorrer ao repertório algébrico para chegar à resposta solicitada.

Consideramos que os alunos poderiam recorrer a uma das estratégias para sua resolução:

Estratégia 01:

O aluno poderia dividir 72 por 4, e depois, por tentativas, procurar os números que obedecessem aos critérios do problema.

 72/4 = 18

Lado maior: 18+18= 36

Lado menor: 9 + 9 = 18/54

Lado maior: 20+20= 40

Lado menor: 10+10= 20/60

Lado maior: 22+22= 44

Lado menor: 11+11= 22/66

Lado maior: 24+24= 48

Lado menor: 12+12= 24/72

Logo, o lado maior do retângulo mede 24 cm e o menor 12cm.

Para o uso desta estratégia o aluno deveria compreender que um retângulo tem 4 lados, sendo que dois deles possuem medidas que são iguais ao dobro da medida dos outros dois lados e dominar o algoritmo da divisão e da adição.

Estratégia 02:

Os alunos também poderiam fazer a representação do retângulo e, aleatoriamente, ir distribuindo os 72 cm nos lados, de maneira que a medida do lado maior tenha o dobro da medida do menor.

 

10 + 10 = 20

5 + 5 = 10/30 cm                                                       30 + 30 = 60

15 + 15 = 30/90 cm

   

20 + 20 = 40                                                              24 + 24 = 48

10 + 10 = 20 / 60cm                                                  12 + 12 = 24 / 72cm

Logo, o lado maior mede 24 cm e o menor 12 cm.

Para o uso desta estratégia, os alunos deveriam conhecer a forma geométrica de um retângulo, bem como saber o que significam as palavras dobro e perímetro, dominar o algoritmo da adição e estar atentos para o controle do fato do lado maior ter medida igual ao da medida do lado menor.

Estratégia 03:

Há ainda a possibilidade de resolver este problema utilizando-se da linguagem algébrica, ou seja, os alunos precisariam representar a situação problema na forma de equação do 1º grau com uma incógnita e resolvê-la.

 

2x + 2x + x + x = 72

6x/6 = 72/6

x = 12

Desta forma, também chegariam ao resultado esperado: As medidas dos lados do retângulo são 24 e 12 cm.

No entanto, para o uso desta estratégia, os alunos deveriam saber representar a situação por meio da linguagem algébrica, saber resolver uma equação e saber interpretar o resultado obtido, para fornecer a resposta solicitada na questão.

REFERÊNCIA

Lopes, Sílvia Ednaira, Alunos do ensino fundamental e problemas escolares: leitura e interpretação de enunciados e procedimentos de resolução / Sílvia Ednaira Lopes. Maringá: 2007. Disponível em: http://cienciaematematica.vivawebinternet.com.br/media/dissertacoes/0c6078cfbd0d293.pdf . 

Relatório de Aplicação: ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Data: 22/08/2012                                           Número de alunos: 145 alunos

Turma: 7ª A,B,C,D, E                                    Período: Matutino e Vespertino 

Duração: 45 minutos                                     Organização:   grupos de 4 a 6       

Por Jéssica Sabel - Para trabalhar com interpretação com as 7ª séries resolvemos procurar alguns problemas, com diferentes meios para se resolver com: tentativa e erro e fórmula algébrica.

Trabalhamos em grupos, cada um pode escolher com quem queria trabalhar mas respeitando a quantidade de 6 pessoas por grupo. Mostramos dois problemas em slides como:  “A SOMA DE TRÊS NÚMEROS CONSECUTIVOS É 63. QUAIS SÃO ESSES TRÊS NÚMEROS?” e ”COM R$ 8,00, POSSO COMPRAR DOIS GIBIS, TRÊS PACOTES DE FIGURINHAS E AINDA SOBRAM R$ 2,00 DE TROCO. O GIBI CUSTA R$ 1,00 A MAIS DO QUE O PACOTE DE FIGURINHAS. QUANTO CUSTA O GIBI? E CADA PACOTE DE FIGURINHAS?” determinamos um tempo para eles resolverem, depois cada grupo mostrava a maneira que tinha resolvido e o resultado.

Os grupos utilizaram bem mais tentativa e erro, acharam a fórmula algébrica muito difícil apenas dois grupos utilizaram.

Percebemos bastante empenho para resolver, se comunicaram bastante e competiam entre eles para chegar primeiro no resultado.    

Surgiram alguns comentários como:

“É difícil!”, “O que significa sequência?”, Estava bem barato!”, “Muito complicado!”, “Nossa, aquele negócio de colocar o x agente não sabia a incógnita!”.

Depois de cada explicação mostramos as outras formas para resolver o problema. 

Por Ana Paula Poffo - No dia 22 de agosto de 2012, fomos a Escola de Educação Básica Zenaide Schmitt Costa para a realização de uma atividade com os alunos. Composta por dois problemas matemáticos e suas possíveis resoluções, a atividade exigia dos alunos a interpretação e a resolução do problema.

Para realizar esta atividade os alunos estavam em grupos de seis a oito alunos, onde eles discutiam e resolviam o problema apresentado na forma de slides. Após chegarem à resposta os grupos tinham que apresentar o método que utilizaram para chegar a tal resultado, a maioria dos métodos de resolução que eles utilizaram foi a de tentativa e erro, poucos utilizaram a forma algébrica.

Quando todos os grupos apresentaram a sua forma de resolução, nós mostrávamos quais as outras maneiras que podiam ser utilizadas para resolver o problema apresentado.

Durante a apresentação dos métodos de resolução dos problemas quando mostrávamos a resolução na forma algébrica os alunos comentavam, “Deste jeito é muito difícil!”,  “ Eu não consigo montar a equação!”, “Eu não sei fazer assim!”.

Observando os alunos trabalhando em grupos percebemos que quando eles trabalham em grupos a busca de uma resolução fica mais fácil e também que eles buscam a resolução numérica e não algébrica.

Considerações da Professora:

Neste dia confirmamos nossa hipótese de que os estudantes resolvem os problemas através de cálculos numéricos e/ou intuitivos, é raro alguém resolver um problema utilizando equações, o que na maioria das vezes é mais eficaz e rápido.

Percebemos que eles, definitivamente, odeiam o “X” e não gostam nem de ouvir falar, isso se firmou durante a exposição das diferentes formas de se resolver um determinado problema, no momento de apresentarmos a forma algébrica eles ignoravam a explicação.

Outro item que nos chamou a atenção foi novamente a questão da interpretação, no segundo problema a frase “O gibi custa R$ 1,00 a mais do que o pacote de figurinhas.” Precisou ser conversada em todos os grupos, a dificuldade de perceber o um real a mais do que o outro foi enorme. Foi necessário perguntar: “Qual é o mais caro, o gibi ou o pacote de figurinhas?”

Na maioria das vezes os grupos chutavam valores aleatórios sem considerar o R$1,00 de diferença como: “o gibi custa R$1,50 e o pacote de figurinhas custa R$1,00.”

Acompanhe o raciocínio dos estudantes:

ü      Tenho R$8,00, sobram R$2,00, vou gastar R$6,00.

ü      São 3 pacotes de figurinhas, R$1,00 cada um, então dará  R$3,00.

ü      Ainda sobram R$3,00.

ü      São 2 gibis, então R$1,50 cada um.

O que diagnosticamos:

ü  Não levaram em consideração as diversas possibilidades de valores para resultar em R$6,00;

ü  Não se atearam a todas as informações disponíveis no texto.