Trigonometria_Teodolito

Atividade elaborada pela bolsista Dionara

na 3º ano do Ensino Médio.

Supervisionada pelas Professoras 

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 14/09/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

        Contextualizar o assunto trigonometria, através de abordagem histórica e por meio da exploração do espaço físico e das formas presentes no ambiente.

        Proporcionar condições para que os alunos assimilem os conceitos básicos da trigonometria (seno, cosseno, tangente).

        Reconhecer em quais áreas é estendido que facilitem sua compreensão com relação à interpretação e resolução de problemas.

        O trabalho tem como objetivo Propiciar/desenvolver, além dos conhecimentos matemáticos, o espírito de trabalho em equipe.

Introdução:

        A aula busca proporcionar a compreensão dos estudantes ao relacionarem a utilização prática da trigonometria e a fixação desses conceitos. Pois, através da construção do “teodolito” utiliza-se as relações trigonométricas para calcular distâncias e alturas. Dessa forma, perceber a necessidade de explorar a aplicabilidade dos conceitos mostrando que a Matemática não se resume à aplicação de fórmulas e resolução de algoritmos.

        Diante da preocupação de que o ensino de trigonometria tem sido, em geral, tratado de modo teórico e os educandos podem não compreender de que forma aplicar os conhecimentos adquiridos, elaboramos um trabalho destinado a demonstrar uma maneira envolvente - em forma de aplicações - de utilizar estes conhecimentos. Pretendendo demonstrar os conceitos de trigonometria via utilização de teodolitos, a partir de um trabalho colaborativo dos educandos.

Metodologia:

Material a ser utilizado para confecção do teodolito:

Barbante de 25 cm;
Um canudinho de plástico (de refrigerante);
Um peso (clips);
Um transferidor de (0º a 180º);
Fita adesiva

        Os alunos serão organizados em duplas para realizarem a atividade proposta e os alunos foram deslocados para o pátio da escola, para medirem árvores, postes e prédios. Para medir uma determinada altura é necessário seguir os seguintes passos:

- Passo 1: Posicionar o “teodolito” na direção do topo da altura a ser medida para obter a partir da posição da chumbada, o ângulo de inclinação (α);

- Passo 2: Medir a distância (d1) entre o pé da pessoa que está com o “teodolito” e a base do objeto a ser medido.

- Passo 3: Medir a distância (d2) do chão até o olho da pessoa que está com o “teodolito”.

- Passo 4: Calcular a altura a partir da tangente do ângulo encontrado, ou seja, ALTURA = tg (α).d1+d2.

        No final da atividade os discentes serão incentivados a realizar outras medidas fora do ambiente escolar, pois é necessário que os alunos percebam a aplicabilidade da Matemática em seu cotidiano.

Avaliação:

        Na avaliação do conteúdo, será levado em consideração a participação e interesse dos alunos pelo assunto, destacando a contribuição de eventuais alunos na elaboração de conceitos, bem como, o desenvolvimento no momento da resolução dos exercícios.

Círculo Trigonométrico

Atividade elaborada pela bolsista Roberta

na 3ª série do Ensino Médio.

Supervisionada pelas Professoras 

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 16/11/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

· Reconhecer a definição das leis seno e cosseno;
· Compreender a convencionalidade do círculo trigonométrico;
· Facilitar a interpretação e o entendimento do assunto;
· Auxiliar na resolução de atividades sem a necessidade do uso de calculadoras.


Materiais Necessários:

- Cartolina;
- Papel milimetrado;
- Compasso;
- Transferidor;
- Tesoura;
- Percevejos.



Metodologia:

        Entregar ao aluno um círculo trigonométrico de raio unitário em papel milimetrado. Solicitar que o aluno, auxiliado pela professora, divida o círculo em ângulos de 10 graus. Nos eixos referente aos valores Seno e Cosseno, pedir que os alunos coloquem a graduação, de 0 a 1cm. A seguir serão estudados os conceitos de seno e cosseno.

        Será entregue aos alunos uma tabela com alguns ângulos para que eles preencham com os valores encontrados no círculo trigonométrico.

        Após essa primeira compreensão, os alunos serão orientados a construírem o eixo das tangentes e acrescentarem esses novos valores na tabela iniciada anteriormente.

RELATÓRIO DE APLICAÇÃO

Organização:

3 aulas | 40 alunos |  Turma: 3ª01 e 2ª02 |  Individual

        Foram entregues aos alunos um círculo trigonométrico de raio unitário em papel milimetrado, já montado com uma flecha de cartolina para indicar os ângulos, presa com um percevejo no centro. Foi solicitado que o aluno, auxiliado pela professora, dividisse o círculo em ângulos de 10 graus. Nos eixos referente aos valores Seno e Cosseno, foi orientado que os alunos colocassem a graduação, de 0 a 1cm. A seguir foram estudados os conceitos de seno e cosseno.

Equação de 1º grau

Atividade elaborada pelas bolsistas Cristiane e Nayara

na 7ª série do Ensino Fundamental.

Supervisionada pelas Professoras 

                          

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 14/09/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

        Chamar a atenção do aluno para que ele perceba de uma forma lúdica o método para resolver equações do primeiro grau (encontrar o valor de uma incógnita), através da propriedade do cancelamento de números opostos (equilíbrio da equação) afim de isolar a incógnita que aqui chamaremos de x.

Materiais:

• 1 caixa de ovos de uma dúzia (vazia); 
• Tampas de garrafa azul e vermelha; 
• Um pedaço pequeno de cartolina ; 
• 2 Palitos de dente; 
• Cola; 
• Tesoura. 

               

Montagem:

1. Cortar as abas (abre e fecha) e a tampa da caixa de ovos mantendo somente a base; 
2. Desenhar e cortar na cartolina em sinal de igual (=) e uma letra (x).; 
3. Pegar dois palitos de dente e colar o sinal de igual (=) em um palito e a letra (x) em outro; 
4. Fixar o palito com o sinal de igual no centro da caixa de ovos deixando seis espaços para cada lado; 
5. Fixar o palito com a letra x no lado esquerdo da caixa; 
6. As tampas vermelhas representam os números negativos e as azuis os positivos. Cada tampa equivale a uma unidade. 

  

Metodologia:

        Como o objetivo é encontrar o valor da incógnita x, através de uma equação dada, o primeiro passo é colocar na balança os valores dados na equação. Usaremos como exemplo a equação: x - 2 = 3. O x já está fixo em nossa balança, então começamos colocando o (-2) que esta no lado esquerdo da equação. Como ele é negativo, vamos representá-lo com 2 tampas vermelhas no lado esquerdo da igualdade da balança. Depois vamos colocar o numero 3, que esta no lado direito da equação. Como ele é positivo vamos colocar 3 tampas azuis no lado direito da igualdade. 

        Para achar o valor de uma incógnita em uma equação de primeiro grau, temos que isolar a incógnita do lado esquerdo, porém aqui, nossa incógnita x já esta fixa do lado esquerdo, então precisamos apenas trabalhar os números. Os números devem ficar do lado direito da igualdade, o número 3 já esta lá, então temos que trabalhar com o número 2. Faremos isso da seguinte forma: vamos cancelá-lo do lado esquerdo colocando seu par oposto, o 2 positivo, isso porque (-2 + 2 = 0). 

        Na balança então colocaremos 2 tampas azuis do lado esquerdo, e duas tampas azuis do lado direito, que são para equilibrar a balança. 

        Agora nossa balança esta da seguinte forma: x -2 + 2 = 3 + 2. 

        Cancelamos os 2 do lado esquerdo deixando somente x, e somamos 3 + 2 do lado esquerdo obtendo o valor 5.

        Então a balança fica: x = 5, sendo o 5 o valor que satisfaça o x na equação.

Atividades para os alunos utilizarem o mini kit

a) x + 4 = 6
b) x – 3 = 1

c) x – 2 = – 6
d) x + 7 = – 4
e) 4 + x = 1
f) – 7 + x = 3
g) – 3 + x = – 5
h) 5 + x = 10

RELATÓRIO DA APLICAÇÃO

Organização

2 aulas | 24 alunos | Turma: 7ª 02 | 6 grupos de 4 alunos.

        As bolsistas foram apresentadas aos alunos. Foi proposta atividade aos alunos de desenhar e recortar o “x” e o “=”, e os grupos foram formados.

       Depois da primeira etapa concluída, foram entregues 15 tampinhas de garrafa pet vermelhas e 15 azuis, e foi definido que as vermelhas representavam os números negativos e as azuis, os positivos.

        Foram dados 2 exemplos com o material, durante a explicação os alunos lembraram do ano anterior e das atividades realizadas desse conteúdo (paródia, jogos, ...).

        A partir de então foram propostos 8 exercícios para que eles fizessem utilizando o material. Os alunos que apresentaram dificuldades foram auxiliados pela professora e pelas bolsistas, além de seus colegas que conseguiram entender.

        Foi solicitado aos alunos que registrassem os procedimentos que utilizaram numa folha, entregue a eles.

   As caixas e o material com o registro dos alunos foram recolhidos para a continuidade do desenvolvimento do conteúdo e para avaliação dos resultados atingidos, assim como correções posteriores com o grupo.

        Os alunos adoraram a atividade e todos se comprometeram em realizar tudo o que foi proposto.

Matemática Geral

Atividade elaborada pela bolsista Dionara

na 3ª série do Ensino Médio.

Supervisionada pelas Professoras 

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 05/10/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

        Utilização de metodologia alternativa, com uso da tecnologia para tornar as aulas mais atraentes para os alunos, obtendo-se assim melhores resultados no processo de ensino e de aprendizagem; Averiguar como os alunos do 3º ano do Ensino lidam com questões de Matemática Básica.

Introdução:

        Buscando avaliar os resultados obtidos com a utilização de jogos com finalidades educativas, será utilizada uma adaptação do jogo “Show do Milhão” para fixar conceitos de Matemática.


Metodologia:

        A utilização didática do jogo pelo professor seguirá as seguintes fases:

        1ª fase: Demonstração do Jogo Show do Milhão Matemático

        - Será apresentado aos alunos como funciona o jogo “Show do Milhão Matemático” (regras, disposições das perguntas, tempo de respostas, premiações, etc);

        - Definição dos participantes: composta por 8 participantes, o restante dos alunos irão participar com as Placas.

RELATÓRIO DE APLICAÇÃO 

Organização: 

3 aulas | 8 alunos | Turma: 3ª 02 |  os demais alunos auxiliam nas placas.

     Utilizamos a sala de vídeo, um computador e o projetor multimídia.

     Foi apresentado aos alunos o modo de jogar o jogo “Show do Milhão Matemático” (regras, disposições das perguntas, tempo de respostas, premiações, etc). Então foram definidos os 8 participantes e o restante dos alunos participaram com as placas.

     A bolsista manuseou o computador, para colocar as respostas que os alunos escolhiam. À medida que o aluno errava era eliminado da competição, porém ficava com o grupo, até o último sair.

      Na primeira rodada, a bolsista entregou alguns brindes para os 8 alunos que participaram, na proporção da colocação. Os alunos gostaram tanto, que tivemos que fazer mais uma rodada, todos participaram mesmo os que estavam na platéia.

      Constatamos os assuntos que os alunos tiveram mais dificuldades de responder, que foi Seno, Cosseno e Tangente, sendo que este foi definido o conteúdo do próximo Mini Kit.

      Ao final foi aplicado um questionário sobre jogos, individualmente, que a bolsista levou para análise da aplicação e da aceitação dos alunos.

Números Complexos

Atividade elaborada pela bolsista Débora

na 3ª série do Ensino Médio.

Supervisionada pelas Professoras 

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

     Construir significados para os números complexos.


Introdução:

     Apresentação do vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=p8EjqyPPvpA. O vídeo da série Matemática Multimídia, com o título Um sonho complexo, traz os conteúdos: Números Complexos - Motivação e Vocabulário. Duração de 12:02 min.

ATIVIDADE INICIAL:

     Fazer uma roda de conversa sobre o vídeo com os alunos para verificar a compreensão do assunto.

     Entregar o texto aos alunos:

     “Um dos assuntos que mais fascinam os matemáticos é a resolução de equações. Um dos povos estudiosos da Matemática mais antigos de que se tem idéia são os Babilônios que já resolviam equações de 2º grau.

     Entretanto um dos povos que avançaram no desenvolvimento da Matemática foram os hindus no século XI, descobrindo a fórmula de Bháskara mais ou menos como a conhecemos hoje. Mas algumas vezes quando calculamos uma equação de grau 2 utilizando a fórmula de Bháskara chegamos a uma das raízes negativas. Antigamente os matemáticos não se preocupavam muito com isso, caso isso acontecesse eles diziam simplesmente que o problema não tinha solução.

     Apenas mais tarde no século XVI quando dois matemáticos italianos, Cardano e Tartaglia disputavam quem conseguia resolver a equação de 3º grau é que se entendeu que apenas os números reais não eram suficientes e foi aí que a primeira idéia de Número Complexo surgiu.

     Com as equações de 2º grau era simples dizer que não havia solução para tal equação quando uma das raízes dessem negativas, mas para as de grau 3 não.

     Por volta de 1510 Cardano publicou em seu livro Ars Magna a “Fórmula de Cardano” para resolução de equações de grau 3 mesmo sendo Tartaglia quem a deduziu.

     Considerando a equação de 2º grau “x² + 1 = 0”, se tentarmos descobrir as duas raízes pela fórmula de Bháskara chegaremos a uma raíz positiva e uma raíz negativa. Ou seja, até a descoberta dos números complexos este resultado não fazia sentindo, alguns matemáticos chegaram até a classificá-los como uma Manifestação do Espírito Santo.”

EXERCÍCIO:

Resolver a equação de 2º grau:

a) x² - 6x + 13 = 0

     Na atividade o valor da raiz será -16, sendo assim perceberão que não existe número real que satisfaça uma raiz quadrada de um número negativo. Nesse momento explicar aos alunos que houve a necessidade de se criar um novo conjunto para resolver esse tipo de equação.

Logaritmos

Atividade elaborada pela bolsista Roberta

na 1ª série do Ensino Médio.

Supervisionada pelas Professoras

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 20/10/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

• Reconhecer as propriedades operatórias dos logaritmos;
• Compreender as conseqüências da definição de logaritmos;
• Proporcionar a competição, que garante dinamismo, movimento e interesse;
• Contribuir para o desenvolvimento social e as relações interpessoais;

Metodologia:

         Formam-se grupos de 4 alunos e cada grupo monta um jogo utilizando as conseqüências da definição (que são 5) e mais duas que envolvem a base 10 e o logaritmo neperiano, formando assim 7 valores para adequar ao jogo.

         Serão entregues a cada grupo um texto com orientações e o esquema para a construção dos dominós.

Materiais necessários:

• Papel cartão
• Folhas A4 com as peças previamente impressas
• Tesoura
• Cola.

Construção do Jogo:

      As peças são entregues sem estarem preenchidas para que os alunos façam a construção do dominó.

      Assim que finalizada a construção, são formadas as chave da competição, através de sorteio, e decidem qual será a premiação para a dupla vencedora.

      Começa-se os jogos em duplas ou individuais, em fases eliminatórias.

Instruções do Jogo:

Jogando em dupla: 4 jogadores (2 x 2)

- Cada jogador recebe 7 peças

Jogando individualmente:

- Cada jogador recebe 7 peças, e 14 peças ficam para comprar no caso do oponente não ter a pedra da vez.

Objetivo do jogo:

         É baixar todas as peças primeiro, ou fechar o jogo (menos habitual). O jogo fica fechado quando não é mais possível baixar as peças, geralmente quando as duas pontas do jogo têm a mesmo definição e não existem mais peças com o mesmo valor na mão dos jogadores.

         Quando o jogo fica fechado, quem tiver menos peças na mão ganha.

         Quando o jogo acabar normalmente, o jogador que colocou sua última peça, ganha o número de pontos correspondente ao número de peças do adversário.

Esquema:

         Observar que, no momento de escrever, em 4 pecas deverá colocar a definição (A) e nas outras 4 um exemplo da definição (AR).

RELATÓRIO DA APLICAÇÃO

Organização:

2 aulas | 20 alunos |  Turma: 1ª 02 | 5 grupos de 4 alunos

        Os alunos se juntaram em grupos de 4 alunos e receberam um texto com orientações e o esquema para a construção dos dominós. O preenchimento do dominó deveria ser baseado nas conseqüências das definições de logaritmos, conforme trabalhado em sala.

        Após preencherem o esquema, receberam as peças do dominó em branco para preencherem conforme o esquema.

        Algumas dificuldades surgiram, pois os alunos precisavam de instrução a todo o momento, talvez por que não têm costume de construir materiais, geralmente recebem tudo pronto.

        Os alunos foram auxiliados pela professora e pela bolsista para o correto preenchimento das peças.

        Como um dos objetivos da atividade era o de construírem o dominó e, assim, proporcionar maior assimilação, a aplicação da atividade foi satisfatória.

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA

Objetivos:

         Através de três atividades direcionadas, o aluno deve perceber que para resolver alguns problemas reais, houve a necessidade de simplificar e aprimorar os cálculos, através de logaritmos.

Metodologia:

         Entregar aos alunos as atividades para fazerem, em dupla, e explicar e relembrar alguns conceitos (porcentagem, juros compostos, etc.)

Atividades:

1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C * (1 + i)t

3500 = 500 * (1 + 0,035)t

3500/500 = 1,035t

1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7

t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149

t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Resolução:

População do ano-base = P0

População após um ano = P0 * (1,03) = P1

População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0

P0 * (1,03)x = 2 * P0

1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2

x * log 1,03 = log2

x * 0,0128 = 0,3010

x = 0,3010 / 0,0128

x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Resolução: 

Q = Q0 * e–rt

200 = 1000 * e–0,02t

200/1000 = e–0,02t

1/5 = e–0,02t (aplicando definição)

–0,02t = loge1/5

–0,02t = loge5–1

–0,02t = –loge5

–0,02t = –ln5 x(–1)

0,02t = ln5

t = ln5 / 0,02

t = 1,6094 / 0,02

t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Conceitos Matemáticos

Atividade elaborada pelas bolsistas Cristiane e Nayara

na 7ª série do Ensino Fundamental.

  

Supervisionada pelas Professoras

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 16/11/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

  

Objetivos:

        Chamar a atenção do aluno para que ele perceba que através de uma brincadeira com aviões de papel podemos trabalhar vários conceitos da matemática: geometria, medidas de grandeza e conceitos iniciais da Física.

  

Materiais:

• Folha de papel A4;
• Tesoura;
• Grampeador ou cola. 

Metodologia:

        Primeiramente, cada aluno montará um avião de papel de sua preferência, depois cada aluno pegará uma nova folha e recomeça sua montagem, porém desta vez registrando com desenhos e explicações cada passo da montagem. Então, observando seus desenhos, cada um deve fazer uma lista de todas as formas geométricas que encontrou durante a dobradura.

  

 

   

   

     

 

       

 

    

 

     

        Depois de prontos os aviões, cada um tem a oportunidade de arremessar seu avião e analisar qual sua finalidade: se ele é veloz, se fica mais tempo no ar, se voa mais longe ou se faz manobras.

         Quando definida a finalidade de cada modelo de avião, dividimos a turma em grupos e propomos um torneio onde cada grupo ira mostrar suas habilidades em arremesso de aviões. Um dos grupos deve ser o grupo de juízes que ira avaliar o desempenho dos aviões. Estes alunos deverão cronometrar o tempo de vôo, medir a distância, calcular a velocidade e atribuir notas para pontaria e manobras, utilizando a tabela:

        Iniciando o torneio cada grupo tem um tempo para montar alguns modelos e testá-los, em seguida, iniciamos os arremessos. Um aluno de cada equipe é o que arremessa. este por sua vez tem duas chances para jogar, valendo o vôo em que a pontuação for maior. Primeiro arremessa para distância (medida em metros), depois para tempo no ar (medido em segundos), velocidade (média da distância/tempo), pontaria (é dado um alvo) e manobras (atribuem-se notas).

        Então, fazemos uma media de pontuação entre todas as modalidades, e é campeã a equipe que obter a maior pontuação.

RELATÓRIO DE APLICAÇÃO

Organização:
2 aulas | 23 alunos | Turma: 7ª 02 | Trio e dupla de juízes.

        Foi proposta atividade aos alunos de cada um elaborar um avião de papel de sua preferência, passamos alguns modelos de montagem para aqueles que não sabiam montar. Os alunos montaram e testaram os seus, analisando aquele que fica mais tempo no ar, aquele que voa mais longe, o que tem pontaria, que faz manobras e que é mais veloz.

        Depois da primeira etapa concluída, pedimos para que eles observassem as formas geométricas que estavam sendo realizadas, e que eles registrassem os procedimentos em cada passagem.

        A partir de então foi proposto que se realizasse um campeonato entre a turma. Os alunos que se destacaram no arremesso de aviões foram escolhidos para serem os capitães de cada equipe, e estes escolheram mais dois membros para auxiliarem. Outros dois alunos foram convocados para serem os juízes.

        Cada grupo recebeu o nome de uma cor e papeis da mesma cor para confeccionarem os aviões. As juízas receberam uma planilha para colocarem a pontuação de cada equipe.

        Primeiro todos os grupos tiveram 10 minutos para confeccionarem aviões de sua preferência e testá-los e então separar os que tiveram melhor desempenho. Então começamos o torneio pedindo que preparassem um avião que fosse específico para percorrer longa distância, e todos tiveram mais 5 minutos para fazê-los. Depois, grupo após grupo, arremessou o seu, e as juízas junto com as bolsistas e a professora fizeram as medições. Depois fizeram um para maior tempo no ar,onde cronometramos o tempo,após este fizeram o mais veloz,onde fizemos a média entre a distância e o tempo de vôo, fizeram outro modelo para pontaria, neste, eles tinham que jogar o avião e acertar dentro de um cesto ou se aproximar o máximo possível deste, e então um modelo para manobras, ao qual foram atribuídas notas para as melhores manobras.

        Encerrado o campeonato, a professora juntamente com as bolsistas fez a somatória dos pontos e definiram o grupo campeão e os demais classificados. Todos os alunos foram premiados com pirulitos e o grupo campeão ganhou uma caixa de bombons.