Logaritmos

Atividade elaborada pela bolsista Roberta

na 1ª série do Ensino Médio.

Supervisionada pelas Professoras

Andrea Vieira e Márcia Stopassoli em 20/10/2011.

MATERIAL INSTRUCIONAL

Objetivos:

• Reconhecer as propriedades operatórias dos logaritmos;
• Compreender as conseqüências da definição de logaritmos;
• Proporcionar a competição, que garante dinamismo, movimento e interesse;
• Contribuir para o desenvolvimento social e as relações interpessoais;

Metodologia:

         Formam-se grupos de 4 alunos e cada grupo monta um jogo utilizando as conseqüências da definição (que são 5) e mais duas que envolvem a base 10 e o logaritmo neperiano, formando assim 7 valores para adequar ao jogo.

         Serão entregues a cada grupo um texto com orientações e o esquema para a construção dos dominós.

Materiais necessários:

• Papel cartão
• Folhas A4 com as peças previamente impressas
• Tesoura
• Cola.

Construção do Jogo:

      As peças são entregues sem estarem preenchidas para que os alunos façam a construção do dominó.

      Assim que finalizada a construção, são formadas as chave da competição, através de sorteio, e decidem qual será a premiação para a dupla vencedora.

      Começa-se os jogos em duplas ou individuais, em fases eliminatórias.

Instruções do Jogo:

Jogando em dupla: 4 jogadores (2 x 2)

- Cada jogador recebe 7 peças

Jogando individualmente:

- Cada jogador recebe 7 peças, e 14 peças ficam para comprar no caso do oponente não ter a pedra da vez.

Objetivo do jogo:

         É baixar todas as peças primeiro, ou fechar o jogo (menos habitual). O jogo fica fechado quando não é mais possível baixar as peças, geralmente quando as duas pontas do jogo têm a mesmo definição e não existem mais peças com o mesmo valor na mão dos jogadores.

         Quando o jogo fica fechado, quem tiver menos peças na mão ganha.

         Quando o jogo acabar normalmente, o jogador que colocou sua última peça, ganha o número de pontos correspondente ao número de peças do adversário.

Esquema:

         Observar que, no momento de escrever, em 4 pecas deverá colocar a definição (A) e nas outras 4 um exemplo da definição (AR).

RELATÓRIO DA APLICAÇÃO

Organização:

2 aulas | 20 alunos |  Turma: 1ª 02 | 5 grupos de 4 alunos

        Os alunos se juntaram em grupos de 4 alunos e receberam um texto com orientações e o esquema para a construção dos dominós. O preenchimento do dominó deveria ser baseado nas conseqüências das definições de logaritmos, conforme trabalhado em sala.

        Após preencherem o esquema, receberam as peças do dominó em branco para preencherem conforme o esquema.

        Algumas dificuldades surgiram, pois os alunos precisavam de instrução a todo o momento, talvez por que não têm costume de construir materiais, geralmente recebem tudo pronto.

        Os alunos foram auxiliados pela professora e pela bolsista para o correto preenchimento das peças.

        Como um dos objetivos da atividade era o de construírem o dominó e, assim, proporcionar maior assimilação, a aplicação da atividade foi satisfatória.

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA

Objetivos:

         Através de três atividades direcionadas, o aluno deve perceber que para resolver alguns problemas reais, houve a necessidade de simplificar e aprimorar os cálculos, através de logaritmos.

Metodologia:

         Entregar aos alunos as atividades para fazerem, em dupla, e explicar e relembrar alguns conceitos (porcentagem, juros compostos, etc.)

Atividades:

1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C * (1 + i)t

3500 = 500 * (1 + 0,035)t

3500/500 = 1,035t

1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7

t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149

t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Resolução:

População do ano-base = P0

População após um ano = P0 * (1,03) = P1

População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0

P0 * (1,03)x = 2 * P0

1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2

x * log 1,03 = log2

x * 0,0128 = 0,3010

x = 0,3010 / 0,0128

x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Resolução: 

Q = Q0 * e–rt

200 = 1000 * e–0,02t

200/1000 = e–0,02t

1/5 = e–0,02t (aplicando definição)

–0,02t = loge1/5

–0,02t = loge5–1

–0,02t = –loge5

–0,02t = –ln5 x(–1)

0,02t = ln5

t = ln5 / 0,02

t = 1,6094 / 0,02

t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.